Proponen fórmula para calcular la capacidad de un código de reparar errores

Yuriko Pitones Amaro, graduada del Departamento de Matemáticas del Cinvestav, reconocida con uno de los Premio Arturo Rosenblueth 2022

Los códigos (un conjunto de signos y reglas que conforman las palabras de un mensaje) están en todas partes, es el caso del ISBN, un identificador único para libros, o los empleados en diversos dispositivos para almacenar, recuperar, enviar o recibir datos, por lo cual se busca que los códigos sean eficientes en cuanto a la detección y corrección de errores durante el proceso de transmitir información.

Por ejemplo, el ISBN, usado por las editoriales para catalogar los libros, está conformado por una cadena de 10 dígitos, en la cual cada uno hace referencia a un aspecto de la publicación, como el idioma, el título y la editorial.

En este caso, los primeros nueve dígitos pueden tomar valores entre cero y nueve, mientras que el décimo de cero a 10 (este último se representa con una X). Así, una serie de números que cumplen cierta ecuación matemática es una palabra del código ISBN, dijo Yuriko Pitones Amaro, graduada del Departamento de Matemáticas del Cinvestav, para explicar su investigación que le hizo acreedora al Premio Arturo Rosenblueth 2022 en el área de Ciencias Exactas y Naturales por su tesis doctoral realizada en 2019.

Cuando se envía un mensaje se espera que sea recibido de forma correcta, pero durante dicho proceso pueden ocurrir fallas, en el caso del código ISBN se podría desconocer a qué se refieren los dígitos de sus palabras. Por lo cual desde la perspectiva matemática existen parámetros establecidos para analizar un código y su funcionalidad (en cuanto a la detección y corrección de errores), uno de ellos es la distancia mínima.

Dicho parámetro se refiere a la cantidad de diferencias entre pares de palabras que pertenecen a un mismo código (una de ellas se obtiene al contar el número de dígitos distintos: 1234347961 y 1223357861) y se usa para evaluar su capacidad de detectar y reparar errores; en general, la distancia mínima es difícil de calcular, en computación es considerado un problema complejo, y existen pocos algoritmos eficientes que lo determinen.  

En este sentido, la propuesta realizada por Pitones Amaro consiste en una fórmula algebraica para calcular la distancia mínima de una de las familias de códigos detectores y correctores de errores, llamados proyectivos tipo Reed-Muller, que son utilizados de manera habitual en la transmisión de información.

“Estos tienen aplicaciones en diversas áreas de la ciencia, ejemplo de ello es la primera imagen de un agujero negro, dada a conocer en 2019, que se logró reconstruir gracias a dichos códigos, los cuales permitieron procesar los datos obtenidos por los radiotelescopios”, explicó Pitones Amaro.

Una de las aportaciones del trabajo “Funciones Distancia Mínima y Códigos Tipo-Reed–Muller”, realizado bajo la asesoría de Rafael Heraclio Villarreal Rodríguez, investigador del Departamento de Matemáticas del Cinvestav, fue revisar la fórmula utilizada para calcular la distancia mínima, a partir de conceptos algebraicos, con el fin de proponer una nueva.

Para eso utilizó dos funciones, una de ellas conocida como peso de Hamming, la cual se calcula al identificar el número de dígitos de la palabra (un código ISBN, por ejemplo) que son diferentes de cero:1002040206.

Yuriko Pitones Amaro, graduada del Departamento de Matemáticas del Cinvestav, durante la ceremonia de los Premio Arturo Rosenblueth 2022

“En la práctica se busca tener códigos con distancia mínima grande, entre mayor es el valor obtenido tras aplicar las dos funciones de Hamming en una ecuación específica, más elevado es el número de errores que pueden corregir; por eso calcular y medir este parámetro es de gran interés para la comunidad científica”, destacó la investigadora, quien actualmente es profesora visitante en el Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa.

Este trabajo derivó en varios artículos científicos y es de destacar que combinó tres áreas de las matemáticas (álgebra conmutativa, combinatoria y teoría algebraica de códigos), por lo cual el reto fue aprender diversas técnicas a fin de resolver la problemática planteada en la tesis usando diferentes perspectivas.

Pitones Amaro destacó que sus resultados teóricos pueden servir para estudiar otras familias de códigos y resaltó la importancia del estudio de la distancia mínima, porque los métodos novedosos planteados en su tesis le han permitido usar muchos de los conceptos e ideas desarrollados en su investigación actual.

Al respecto del Premio, la investigadora mencionó que es un reconocimiento para el trabajo realizado en el Departamento de Matemáticas del Cinvestav, así como de las y los matemáticos mexicanos, en especial en el campo del álgebra conmutativa, “me gustaría invitar al estudiantado a explorar esta área en la que se pueden desarrollar diferentes proyectos de investigación con implicaciones en otras disciplinas”, finalizó.