Estudio de Cinvestav sugiere una estructura unificadora entre lo algebraico y lo no algebraico

Ernesto Lupercio Lara, investigador del Departamento de Matemáticas del Cinvestav

Existen dos grandes formas de abordar las matemáticas: la griega y la persa, la primera describe elipses, hipérbolas, círculos o triángulos, es decir la geometría; en la segunda se habla de ecuaciones algebraicas que se manifiestan en números y letras con operaciones de suma, multiplicación o división.

Ante esas dos visiones, en el siglo XVII, René Descartes establece que las ecuaciones corresponden a figuras geométricas y eso en la ciencia es muy importante, porque entender el funcionamiento del corazón se puede lograr con una gráfica, pero también con una ecuación.

Entonces, la geometría que representa figuras correspondientes a ecuaciones polinómicas algebraicas se llama geometría algebraica y, con ella, mediante una gráfica se puede observar la corriente eléctrica alterna, por ejemplo, pero hay propiedades del ámbito algebraico, como los espacios algebraicos y no algebraicos con dimensiones uno, dos, tres o tan altas que son difíciles de imaginar como objetos geométricos, por ello se crearon los denominados números de Hodge  (en honor al matemático británico William Vallance Douglas Hodge 1903-1975)  para representar su forma.

Los números de Hodge sirven para entender la forma del espacio, sus dimensiones en sus diversas direcciones, por ejemplo, un espacio de dimensión 10, su número de Hodge 2-5 podría ser 4, indicando 4 agujeros o ciclos en la dirección 2 de la subdimensión 5; por lo tanto, sirven para codificar la forma de un espacio muy difícil de imaginar.

En este contexto un grupo de investigación del Departamento de Matemáticas del Cinvestav, encabezado por Ernesto Lupercio Lara, en colaboración con Ludmil Katzarkov, Kyoung-Seog Lee y Laurent Meersseman, colegas de Estados Unidos, Corea y Francia, respectivamente, publicaron recientemente en Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS) un avance clave en la comprensión de los polinomios de Hodge en variedades complejas no algebraicas.  

En el artículo, titulado "On Hodge Polynomials for Non-Algebraic Complex Manifolds", los autores demuestran que estas expresiones matemáticas, fundamentales en geometría compleja, mantienen su carácter motívico conservan ciertas propiedades profundas que permiten verlos como parte de un lenguaje unificado para conectar distintas ramas de las matemáticas, como geometría, topología y aritmética, conocido como teoría de motivos que busca identificar patrones esenciales en la forma del espacio, como si distintas melodías revelaran una misma armonía subyacente, cuando se aplican a variedades que no provienen de ecuaciones polinómicas; incluso más allá del contexto algebraico.

En este trabajo, los autores exponen que la geometría compleja es una de las ramas más profundas de las matemáticas modernas, esencial para teorías físicas, como la de cuerdas, y exploran los polinomios de Hodge —objetos que encapsulan información geométrica y topológica— en un contexto no algebraico.

Además, prueban que estos polinomios conservan propiedades motívicas al extenderse a clases de variedades complejas que no admiten una estructura algebraica, como las variedades de Hopf, Calabi-Eckmann y LVMB. “Este descubrimiento no solo amplía la aplicabilidad de la teoría de Hodge, sino que también sugiere una estructura unificadora profunda entre los mundos algebraico y no algebraico, sostuvo Lupercio Lara.

El investigador también explicó que la relevancia del trabajo se extiende incluso a la física matemática y a la inteligencia artificial, porque sus ideas aportan herramientas fundamentales para el estudio de espacios modulares (algunos de los cuales aparecen en el estudio de la inteligencia artificial) y de simetrías en teorías cuánticas como la de cuerdas.

“Nuestro trabajo científico es una labor continua que va de la investigación teórica más profunda a los estudios con mayores aplicaciones, por ejemplo, ahora hay mucha interacción entre las matemáticas, la computación y toda la ciencia generada por la inteligencia artificial, señaló el investigador.

“Como miembro del Cinvestav, una institución científica de gran prestigio y un verdadero orgullo mexicano en el ámbito internacional, es para mí un honor contribuir al fortalecimiento de su cultura de investigación. A pesar de la creciente burocratización que afecta al quehacer científico en muchas partes del mundo, el Centro continúa ofreciendo condiciones de trabajo que favorecen la libertad intelectual y la creatividad”, señaló Ernesto Lupercio Lara.